圆的面积
一句话总结： 圆的面积就是圆内部平面区域的大小，用 A = πr² 来求，也就是 π 乘以半径再乘以半径。
为什么成立
圆形随处可见：披萨、花园里的池塘、圆桌、洒水器的喷洒范围和车轮。知道了面积，就知道需要多少油漆、草籽、布料，或者有多少披萨。先认识几个词。半径（r）是从圆心到圆边缘的距离。直径是穿过圆心、从一边直接到另一边的距离，所以它是半径的两倍。π（读作“派”）是一个特殊的数，约等于 3.14159，对所有圆都一样。面积公式在以后的数学学习中还会再出现，比如圆柱和圆锥的体积、球的表面积。
可以这样理解： 想象把一个圆形披萨切成许多细长的小块，就像一把展开的扇子。现在把这些小块排成一排，一块尖朝上、一块尖朝下、再一块尖朝上，互相拼在一起。拼出来的形状几乎就像一个长方形。它的高是半径 r。它的长是饼边的一半，因为一半小块尖朝上、一半尖朝下。整个饼边（周长）是 2πr，所以一半就是 πr。长方形的面积是长 × 高，所以面积是 πr × r = πr²。 (不适用的情况：重新拼好的小块永远拼不成一个完美的长方形。因为饼边是弯的，上下两条边还是有点凹凸不平。切的块数越多，就越接近真正的长方形。公式本身是完全正确的，但披萨这个比喻只是说明它为什么合理，本身并不算证明。)
例题详解
在一张比例图上，一块圆形地毯的直径是 10 cm。求它的面积，结果保留 2 位小数。
- 求半径：半径是直径的一半，所以 r = 10 ÷ 2 = 5 cm。
- 写出公式：A = πr²。
- 先算半径的平方：r² = 5 × 5 = 25。
- 再乘以 π：A = π × 25 = 25π。
- 用计算器上的 π 键：25π ≈ 78.54。
- 加上平方单位，因为面积衡量的是平面区域的大小：cm²。
答案： 面积是 25π cm²，约等于 78.54 cm²。
常见错误
- 把直径代入公式而不是半径，算出的面积会大四倍，所以一定要先把直径除以 2。
- 用 2πr 求出的是周长（绕边缘一圈的长度），而不是面积，所以要检查公式里的 r 是否有平方。
- 计算 (π × r)² 会把 π 也平方了，所以只对半径平方，然后再乘以 π。
- 把答案单位写成 cm 而不是 cm²，就看不出面积衡量的是平面区域的大小，所以一定要用平方单位。
试一试 · 第 1 题，共 3 题
免费 · 无需注册一个圆的半径是 3 cm。它的面积是多少（保留 2 位小数）？
家长常见问题
孩子几年级学圆的面积？
在澳大利亚，通常在 8 年级教授；在英国，一般出现在 7 年级或 8 年级；在美国，属于 7 年级数学内容。之后几年，学生在学习圆柱、圆锥和球时还会再用到它。
在家里怎样帮助孩子学习圆的面积？
和孩子一起测量家里的圆形物品，比如盘子、盖子或披萨，然后根据半径算出面积。请孩子把每一步大声说出来：把直径除以 2、求半径的平方、乘以 π，最后加上平方单位。把一张圆形纸剪成小块，再拼成一个近似长方形，是展示公式为什么成立的好方法。
孩子应该用 3.14 还是 π 键？
如果题目说明了用哪一个，两种都可以。π 键更精确，所以得出的答案可能和用 3.14 或 22/7 算出的略有不同。有时最好的答案是用 π 表示，比如 25π cm²，这是精确值。
为什么答案要用平方单位？
面积衡量的是需要多少个小正方形才能铺满一个平面图形，比如边长 1 cm × 1 cm 的小正方形。因为半径要乘以它自己，单位也要相乘：cm × cm = cm²。而像周长这样的长度，单位仍然是普通的 cm。