勾股定理
一句话总结： 在任何直角三角形中，最长边的平方等于另外两条边的平方之和：a² + b² = c²。
为什么成立
勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）可以让你不用测量，就算出直角三角形（有一个 90° 角的三角形，就像书页的一角）中缺少的那条边。建筑工人用它来检查墙角是否成直角，它还能算出梯子的长度、屏幕的对角线，或是横穿田地的捷径有多长。直角对面的最长边叫作斜边（英文 hypotenuse，读作 hy-POT-en-yooz），通常标记为 c。“平方”是指一个数乘以它自己（5² = 5 × 5 = 25），而“平方根”则是把平方还原（√25 = 5）。勾股定理也是坐标图上求距离、三角学以及之后许多数学内容的起点。
可以这样理解： 想象在直角三角形的每条边上各拼一块正方形瓷砖。如果两条较短的边分别是 3 cm 和 4 cm，那么它们的瓷砖面积就是 9 cm² 和 16 cm²。把这两块小瓷砖切开，正好能拼满最长边上的那块瓷砖，它的面积是 25 cm²。两个小正方形总能把大正方形完美填满，不多不少，也没有空隙。 (不适用的情况：这个类比讲的是面积，而不是长度，所以不能直接把边长相加（3 + 4 等于 7，而不是 5）；必须先平方、再相加，最后开平方根。而且它只适用于有直角的三角形；换成其他三角形，小正方形就无法刚好填满大正方形。)
例题详解
一个长方形公园长 8 米、宽 6 米。从一个角到对角的斜穿小路有多长？
- 对角线把长方形分成两个直角三角形。对角线在直角的对面，所以它就是斜边 c。
- 把两条较短的边分别平方：6² = 36，8² = 64。
- 把它们相加：36 + 64 = 100，所以 c² = 100。
- 开平方根，把平方还原：c = √100 = 10。
- 检查是否合理：10 m 比任何一条短边（8 m）都长，但比沿着边走一圈（6 + 8 = 14 m）要短。
答案： 这条斜穿小路长 10 米。
常见错误
- 把边长直接相加，而不是把它们的平方相加（3 + 4 = 7）。所以一定要先把每条边平方，再相加。
- 最后忘记开平方根，把 c² 当成答案。记住最后一步是对总和开 √。
- 求较短的边时却用了加法。如果斜边已知，就要改用减法：a² = c² − b²。
- 把错误的边标成 c。一定要先找到直角对面的那条边，因为只有它才可能是斜边。
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免费 · 无需注册一个直角三角形的两条较短边分别是 3 cm 和 4 cm。斜边有多长？
家长常见问题
孩子几年级学勾股定理？
在英格兰，通常在 9 年级引入，有时在 8 年级，并在 10 和 11 年级复习巩固。在澳大利亚，一般在 9 年级教授；在美国，这是 8 年级的内容。学生需要先熟练掌握平方和平方根。
在家怎样帮助孩子学习勾股定理？
利用身边的实物：量一量桌子或手机屏幕的长和宽，用 a² + b² = c² 预测对角线的长度，再实际量一量来验证。鼓励孩子把步骤说出来：找出斜边、平方、相加或相减、再开平方根。练熟 15² 以内的平方数，也会让计算轻松很多。
勾股定理适用于所有三角形吗？
不是，它只适用于直角三角形。不过，你可以反过来用：如果对于最长边 c，a² + b² 等于 c²，那么这个三角形一定有一个直角。建筑工人就是用这个方法来检查墙角是否成标准直角的。
什么是勾股数？
勾股数是恰好满足 a² + b² = c² 的三个整数，例如 3、4、5 和 5、12、13。勾股数的任意倍数也同样成立，所以 6、8、10 也是一组。能认出勾股数可以节省时间，还能帮助孩子检查答案。