畢氏定理
一句話概括： 在任何直角三角形中，最長邊的平方等於另外兩邊的平方相加：a² + b² = c²。
為什麼成立
畢氏定理讓你不用測量，就能算出直角三角形（有一個 90° 角的三角形，就像書頁的角落）中缺少的一條邊。建築工人用它來檢查牆角是否成直角；它也能算出梯子的長度、螢幕的對角線，或者穿越一片草地的捷徑有多長。最長的邊位於直角的對面，稱為斜邊（英文 hypotenuse，讀作 hy-POT-en-yooz），通常標記為 c。「平方」是指一個數乘以自己（5² = 5 × 5 = 25），而「平方根」則是把平方還原（√25 = 5）。這條定理也是日後學習座標圖上的距離、三角學以及許多後續數學內容的起點。
可以這樣理解： 想像在直角三角形的每條邊上各拼一塊正方形磁磚。如果兩條較短的邊分別是 3 cm 和 4 cm，它們的磁磚面積就是 9 cm² 和 16 cm²。把這兩塊較小的磁磚剪開，剛好可以完整鋪滿最長邊上那塊面積為 25 cm² 的磁磚。兩個小正方形總能剛好填滿大正方形，不多不少，也沒有空隙。 (這個比喻的局限：這個比喻講的是面積，而不是長度，所以不能直接把邊長相加（3 + 4 是 7，不是 5）；必須先平方、再相加，然後開平方根。另外，它只適用於有直角的三角形；換成其他三角形，小正方形就無法剛好填滿大正方形。)
例題詳解
一個長方形公園長 8 公尺、寬 6 公尺。從一個角走到對角的對角線小路有多長？
- 對角線把長方形分成兩個直角三角形。對角線位於直角的對面，所以它就是斜邊 c。
- 把兩條較短的邊平方：6² = 36，8² = 64。
- 相加：36 + 64 = 100，所以 c² = 100。
- 開平方根，把平方還原：c = √100 = 10。
- 檢查是否合理：10 公尺比任何一條短邊（8 公尺）都長，但比沿著邊緣走（6 + 8 = 14 公尺）短。
答案： 對角線小路長 10 公尺。
常見錯誤
- 把邊長相加，而不是把平方相加（3 + 4 = 7）。記得一定要先把每條邊平方，再相加。
- 忘了最後開平方根，直接把 c² 當成答案。記住最後一步是把總和開 √。
- 求較短的邊時仍然用加法。如果已知斜邊，就要改用減法：a² = c² − b²。
- 把錯誤的邊標為 c。一定要先找出直角對面的那條邊，因為只有它才可能是斜邊。
試試看 · 第 1 題，共 3 題
免費 · 無需註冊一個直角三角形的兩條較短邊分別是 3 cm 和 4 cm。斜邊有多長？
家長常見問題
孩子在幾年級學畢氏定理？
在英格蘭，通常在 9 年級（有時在 8 年級）開始學習，並在 10 和 11 年級複習。在澳洲一般在 9 年級教授，在美國則是 8 年級的課題。學生需要先熟練掌握平方和平方根。
我可以怎樣在家幫助孩子學習畢氏定理？
利用身邊的實物：量一量桌子或手機螢幕的長和寬，用 a² + b² = c² 預測對角線長度，再實際量一量來驗證。鼓勵孩子把步驟說出來：找出斜邊、平方、相加或相減，最後開平方根。熟練 15² 以內的平方數，也會讓計算輕鬆很多。
畢氏定理適用於所有三角形嗎？
不是，它只適用於直角三角形。不過，你也可以反過來用：如果以最長邊為 c，a² + b² 等於 c²，那麼這個三角形一定有一個直角。建築工人就是用這個方法檢查牆角是否剛好成直角。
什麼是畢氏三元數？
它們是剛好符合 a² + b² = c² 的三個整數組合，例如 3、4、5 和 5、12、13。三元數的任何倍數也同樣成立，所以 6、8、10 也是一組。能認出它們可以節省時間，也能幫助孩子檢查答案。