比例與正比：比較與按比例縮放數量
一句話概括： 比（ratio）用來比較兩個或以上的數量，例如 2 杯麵粉對 1 杯糖；而正比（proportion）是指當數量變大或變小時，保持這個比較關係不變。
為什麼成立
比例在日常生活中無處不在：照著食譜做菜、調顏料、看地圖比例尺，或者算出哪一包穀物早餐更划算。理解正比能幫助你透過乘法而不是猜測，正確地把數量放大或縮小。它也是百分比、求數量的幾分之幾、速度、比例圖以及日後代數的基礎。
可以這樣理解： 想像一下沖調濃縮橙汁。如果瓶子上寫著 1 份濃縮汁對 4 份水（寫作 1:4），一杯可能用 1 瓶蓋濃縮汁和 4 瓶蓋水。如果要沖一整壺，可能用 5 瓶蓋濃縮汁和 20 瓶蓋水。份量變大了，但味道一樣，因為兩個部分都乘以同一個數。這就是正比：比例相同，大小不同。 (這個比喻的局限：濃縮橙汁這個例子適用於能均勻混合的東西，但並不是所有事物都能這樣按比例縮放。把蛋糕食譜的份量加倍，並不代表烘烤時間也要加倍；而且單憑一個比，永遠無法知道實際的數量，只能知道它們之間如何比較。)
例題詳解
Mia 和 Sam 按 3:5 的比例分 £40。每人各得多少？
- 3:5 的意思是，Sam 每得 5 份，Mia 就得 3 份。
- 把各份相加，求出總份數：3 + 5 = 8 份。
- 求出一份的值：£40 ÷ 8 = £5。
- Mia 得 3 份：3 × £5 = £15。Sam 得 5 份：5 × £5 = £25。
- 檢查：£15 + £25 = £40，而且 15:25 化簡後是 3:5，所以答案正確。
答案： Mia 得 £15，Sam 得 £25。
常見錯誤
- 用總數除以比中的其中一個數（例如 £40 ÷ 3），而不是除以總份數；一定要先把各份相加。
- 把比的順序寫反，例如寫成 5:3 而不是 3:5；比的順序必須與題目中文字的順序一致。
- 按比例縮放時，在兩個部分都加上同一個數（把 2:3 變成 4:5），而不是把兩個部分都乘以同一個數（把 2:3 變成 4:6）。
- 比較不同單位的數量，例如 50 cm 對 2 m；化簡之前要先換成相同單位（50 cm 對 200 cm）。
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家長常見問題
孩子幾年級學比例與正比？
在英國，比例與正比在 6 年級開始引入，並在 7 至 9 年級逐步深化。在澳洲，比主要在 7 和 8 年級教授；在美國，則是 6 和 7 年級的重點課題。
我可以怎樣在家幫助孩子學習比例與正比？
下廚是理想的方法：請孩子把食譜的份量加倍或減半，或者按不同人數調整份量。沖調濃縮果汁、按指定比例公平分糖果、看地圖比例尺，也都是快速又實用的練習方式。
比和分數有甚麼分別？
比是把一部分與另一部分作比較，而分數是把一部分與整體作比較。例如，一個袋子裡有 2 個紅色和 3 個藍色籌碼，紅色與藍色的比是 2:3，但紅色籌碼佔全部籌碼的分數是 2/5。
為甚麼我的孩子做按比例分配的題目總是出錯？
最常見的原因是用比中的其中一個數去除，而不是除以總份數。鼓勵孩子畫一條分成相等份數的長條，先把各份相加，再算出一份的值。