因数与倍数

一句话总结： 因数是能把另一个数整除、没有余数的整数；倍数是一个数乘以某个整数所得的结果，就像乘法表里的那些答案。

为什么成立

因数和倍数能帮助你平均分东西、约分、在分数加法中找公分母（相同的分母），还能发现数字中的规律。它们也能让心算更快，因为知道 4 × 6 = 24，就同时知道了 24 的因数以及 4 和 6 的倍数。

可以这样理解： 假设你有 12 把椅子，想把它们摆成每排数量相同的几排，而且一把都不剩。你可以摆 1 排 12 把、2 排各 6 把、3 排各 4 把、4 排各 3 把、6 排各 2 把，或 12 排各 1 把。能摆成功的每排数量（1、2、3、4、6、12）就是 12 的因数。反过来想：如果每排都放 3 把椅子，那么 1 排、2 排、3 排……就分别有 3、6、9、12 把椅子。这些总数就是 3 的倍数。 (不适用的情况：椅子的例子只适用于整把椅子，所以无法表示分数或负数。它也不容易看出倍数是无穷无尽的：你永远不可能用椅子摆出 3 的所有倍数，但 3、6、9、12……这个序列永远不会结束。)

例题详解

找出 24 的所有因数，以及 6 的前五个倍数。6 是 24 的因数吗？24 是 6 的倍数吗？

从 1 开始：1 × 24 = 24，所以 1 和 24 是一对因数（两个相乘等于 24 的数）。
依次试 2、3 和 4：2 × 12 = 24，3 × 8 = 24，4 × 6 = 24，所以这些都是因数对。
试 5：24 ÷ 5 = 4 余 4，所以 5 不是因数。下一个数 6 已经出现在因数对里了，所以可以停下来。
按从小到大的顺序列出因数：1、2、3、4、6、8、12、24。
用 6 分别乘以 1、2、3、4 和 5，得到 6 的前五个倍数：6、12、18、24、30。
两个列表都体现了 6 × 4 = 24 这一关系，所以 6 是 24 的因数，24 是 6 的倍数。

答案： 24 的因数是 1、2、3、4、6、8、12 和 24。6 的前五个倍数是 6、12、18、24 和 30。是的：6 是 24 的因数，24 也是 6 的倍数。

常见错误

孩子常常把这两个词搞混，所以要记住：因数能“装进”一个数里（它们从不比这个数大），而倍数是“乘出来”的（对于正整数来说，它们从不比这个数小）。
很容易漏掉 1 和这个数本身，所以列因数时总是先写出“1 × 这个数”这一对。
随意乱猜常常会漏掉因数，所以要按 1、2、3、4……的顺序逐个试，一旦因数对开始重复就停下来。
认为一个数不是它自己的倍数是错误的，因为 7 × 1 = 7，所以 7 是 7 的第一个倍数。

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下面哪个数是 18 的因数？

家长常见问题

孩子几年级学习因数和倍数？

在英格兰，孩子在 4 年级接触因数对和倍数，在 5、6 年级正式学习，包括公因数和公倍数。在澳大利亚，这部分内容主要在 5、6 年级学习；在美国，4 年级开始引入，6 年级学习最大公因数和最小公倍数。

在家里怎样帮助孩子学习因数和倍数？

可以用纽扣或硬币等小物件，让孩子把一个数（比如 12 或 20）排成每排数量相同的几排，从而找出它的因数。至于倍数，可以在开车途中或摆餐具时练习按步数数（3、6、9、12……）。乘法表掌握得扎实，这两个概念都会容易得多。

记住因数和倍数区别的最简单方法是什么？

试试这句口诀：“因数装得进，倍数乘出来”（factors fit, multiples multiply）。因数能正好装进一个数里，所以数量有限；而倍数是乘出来的，所以可以无限延续下去。

1 是所有数的因数吗？

是的，1 是所有整数的因数，因为任何数除以 1 都没有余数。每个大于 1 的整数也都以它自己为因数，所以这两个因数应该总是出现在因数列表的开头和末尾。