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质因数分解：把数拆成质数“积木”

一句话总结： 质因数分解，就是把一个整数写成只由质数相乘的形式，例如 12 = 2 × 2 × 3。质数是大于 1 的整数，它的因数只有 1 和它本身。因数是能整除另一个整数（没有余数）的整数。

为什么成立

质因数分解能清楚地显示一个数是由什么“组成”的，这让很多其他计算变得更容易。它可以帮助你求最大公因数（能同时整除两个数的最大的数）和最小公倍数（两个数都能整除的最小的数）。这些在约分和异分母分数相加时都会用到。它还有助于求平方根、发现数字中的规律。如果不考虑顺序，每个大于 1 的整数都只有唯一一种质因数分解，所以它就像一个数独一无二的“指纹”。

可以这样理解： 可以把质数想象成最基本的积木，就像单色的 LEGO 积木，不能再拆成更小的块。每个大于 1 的整数，都可以用乘法把质数积木拼起来得到。例如，30 由一块“2”、一块“3”和一块“5”拼成（2 × 3 × 5 = 30）。质因数分解就像把一个模型拆开，直到只剩下最基本的积木，再把它们一一列出来。 (不适用的情况：真实的积木可以搭成许多不同的形状，但在数字里顺序并不重要：2 × 3 × 5 和 5 × 3 × 2 是同一种分解。另外，这些积木只能通过乘法连接，不能用加法。而数字 1 根本不算积木，因为它不是质数，而且乘以 1 什么也不会改变。)

例题详解

用因数树求 360 的质因数分解，并用指数形式（幂）写出来。

  1. 把 360 拆成两个因数，先从能整除它的最小质数开始：360 = 2 × 180。2 是质数，把它圈起来。
  2. 继续拆分任何不是质数的数：180 = 2 × 90，然后 90 = 2 × 45。把每个 2 都圈起来。
  3. 45 是奇数，所以试下一个质数 3：45 = 3 × 15，然后 15 = 3 × 5。把 3、3 和 5 圈起来，它们都是质数。
  4. 把所有圈起来的质数收集起来：360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5。
  5. 把重复的质数写成幂的形式（指数形式，右上角的小数字表示这个数自乘了几次）：360 = 2³ × 3² × 5。
  6. 乘回去检验：8 × 9 × 5 = 72 × 5 = 360。正确。

答案： 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5

常见错误

  • 把 1 当作质因数写进去（例如把 6 写成 1 × 2 × 3）；记住 1 不是质数，所以不要写它。
  • 在一个不是质数的数上就停下来，例如写成 36 = 4 × 9；要一直拆，直到每个分支的末端都是质数（36 = 2 × 2 × 3 × 3）。
  • 忘了把因数树上所有圈起来的质数都抄进最终答案；可以把这些质数乘回去，看看是否等于原来的数。
  • 把幂写混了，例如本想写 2³ 却写成 2 × 3；右上角的小数字表示这个质数出现了几次，所以 2³ 表示 2 × 2 × 2。

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下面哪一个是 12 的质因数分解？

家长常见问题

孩子几年级学质因数分解？

在英国，孩子在 5 年级接触质数，通常在 6 到 8 年级学习把数写成质因数的乘积。在澳大利亚，一般在 7 年级教，常常会同时学习指数形式。在美国，质因数分解通常出现在 6 年级，用来求最大公因数和最小公倍数。

在家怎样帮助孩子学习质因数分解？

确保孩子熟记前几个质数（2、3、5、7、11、13），并且乘法口诀很熟练。和孩子一起为 24、60 或 100 这样的数画因数树，每次最后都把质数乘回去检验。告诉孩子：同一个数即使画出不同的因数树，最后得到的质数总是一样的——这能帮助他们建立信心。

1 是质数吗？

不是。质数必须恰好有两个不同的因数：1 和它本身，而 1 只有一个因数。不把 1 算作质数，也能保证每个数的质因数分解是唯一的。

英文是“factorisation”还是“factorization”？

两种写法都对，意思完全一样。“factorisation”是英国和澳大利亚常用的拼写，“factorization”是美式拼写，所以孩子在书本和网上可能会看到其中任意一种。