因數與倍數

一句話概括： 因數是能把另一個數整除、沒有餘數的整數；倍數則是一個數乘以整數所得的結果，就像乘法表裡的答案一樣。

為什麼成立

因數與倍數可以幫助我們平均分東西、約簡分數、在分數加法時找出公分母（相同的分母），以及發現數字中的規律。它們也能讓心算更快，因為知道 4 × 6 = 24，就同時知道了 24 的因數，以及 4 和 6 的倍數。

可以這樣理解： 想像你有 12 張椅子，想把它們排成每排數量相同的幾排，而且一張都不剩。你可以排成 1 排 12 張、2 排 6 張、3 排 4 張、4 排 3 張、6 排 2 張，或 12 排 1 張。這些可行的每排張數（1、2、3、4、6、12）就是 12 的因數。現在反過來想：如果每排都有 3 張椅子，那麼 1 排、2 排、3 排……分別會有 3、6、9、12 張椅子。這些總數就是 3 的倍數。 (這個比喻的局限：椅子的例子只適用於整數張椅子，所以無法表示分數或負數。它也沒能呈現倍數是無窮無盡的：你永遠不可能用椅子排出 3 的所有倍數，但 3、6、9、12……這個列表永遠不會結束。)

例題詳解

找出 24 的所有因數，以及 6 的前五個倍數。6 是 24 的因數嗎？24 是 6 的倍數嗎？

從 1 開始：1 × 24 = 24，所以 1 和 24 是一組因數對（兩個相乘等於 24 的數）。
依序試 2、3 和 4：2 × 12 = 24、3 × 8 = 24、4 × 6 = 24，所以這些都是因數對。
試試 5：24 ÷ 5 = 4 餘 4，所以 5 不是因數。下一個數 6 已經出現在因數對中，所以可以停下來了。
按順序列出因數：1、2、3、4、6、8、12、24。
把 6 分別乘以 1、2、3、4 和 5，得到 6 的前五個倍數：6、12、18、24、30。
兩個列表都包含 6 × 4 = 24 這個關係，所以 6 是 24 的因數，而 24 是 6 的倍數。

答案： 24 的因數是 1、2、3、4、6、8、12 和 24。6 的前五個倍數是 6、12、18、24 和 30。是的：6 是 24 的因數，24 是 6 的倍數。

常見錯誤

很多孩子會把這兩個詞搞混，記住：因數是「放得進」一個數的（不會比它大），而倍數是「乘出來」的（對於正整數來說，不會比它小）。
很容易漏掉 1 和這個數本身，所以列因數時，一定要從「1 × 這個數」這一對開始。
隨意亂猜很容易漏掉因數，所以要按 1、2、3、4……的順序逐一測試，當因數對開始重複時就可以停下。
認為一個數不是它自己的倍數是錯的，因為 7 × 1 = 7，所以 7 是 7 的第一個倍數。

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下列哪個數是 18 的因數？

家長常見問題

孩子在幾年級學習因數與倍數？

在英格蘭，孩子在 4 年級開始接觸因數對和倍數，並在 5 和 6 年級正式學習，包括公因數和公倍數。在澳洲，這部分主要在 5 和 6 年級學習；在美國，則在 4 年級引入，最大公因數和最小公倍數則在 6 年級學習。

在家可以怎樣幫助孩子學習因數與倍數？

用鈕扣或硬幣等小物件，請孩子把某個數量（例如 12 或 20）排成每排數量相同的幾排，從而找出它的因數。至於倍數，可以在坐車時或擺餐具時，一起練習跳著數（3、6、9、12……）。熟練乘法表會讓這兩個概念容易得多。

記住因數與倍數分別最簡單的方法是什麼？

試試這句口訣：「因數放得進，倍數乘出來」。因數能剛好放進一個數，所以數量有限；而倍數是乘出來的，所以會一直延續下去。

1 是每個數的因數嗎？

是的，1 是每個整數的因數，因為任何數除以 1 都沒有餘數。每個大於 1 的整數也都以它自己為因數，這就是為甚麼這兩個因數總是位於因數列表的開頭和結尾。