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質因數分解：把數字拆成質數「積木」

一句話概括： 質因數分解是指把一個整數寫成只由質數相乘的形式，例如 12 = 2 × 2 × 3。質數是大於 1 的整數，而且它的因數只有 1 和它本身。因數是指能整除另一個整數、沒有餘數的整數。

為什麼成立

質因數分解能清楚顯示一個數是由甚麼組成的，因此很多其他題目都會變得更容易。它能幫助你找出最大公因數（能同時整除兩個數的最大數）和最小公倍數（兩個數都能整除的最小數）。這些概念可用來約簡分數，以及計算分母不同的分數加法。它也有助於求平方根和發現數字中的規律。如果不考慮次序，每個大於 1 的整數都只有一種質因數分解，所以它就像一個數獨一無二的「指紋」。

可以這樣理解： 可以把質數想像成最基本的積木，就像單色的 LEGO 積木一樣，不能再拆成更小的積木。每個大於 1 的整數，都可以用乘法把質數積木拼砌起來。例如，30 是由一塊「2」、一塊「3」和一塊「5」組成的（2 × 3 × 5 = 30）。質因數分解就像把一個模型拆開，直到只剩下最基本的積木，然後把它們逐一列出來。 (這個比喻的局限：真正的積木可以疊成很多不同的形狀，但在數字中，次序並不重要：2 × 3 × 5 和 5 × 3 × 2 是同一個分解。此外，這些積木只能用乘法連接，絕不能用加法。而數字 1 根本不算是積木，因為它不是質數，而且乘以 1 不會改變任何東西。)

例題詳解

用因數樹找出 360 的質因數分解，並用指數記法（次方）寫出來。

  1. 把 360 拆成兩個因數，先從能整除它的最小質數開始：360 = 2 × 180。把 2 圈起來，因為它是質數。
  2. 繼續拆開任何不是質數的數：180 = 2 × 90，然後 90 = 2 × 45。把每個 2 圈起來。
  3. 45 是單數，所以試下一個質數 3：45 = 3 × 15，然後 15 = 3 × 5。把 3、3 和 5 圈起來，它們全都是質數。
  4. 把所有圈起來的質數收集起來：360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5。
  5. 把重複的質數寫成次方（指數記法：右上角的小數字表示一個數自乘了多少次）：360 = 2³ × 3² × 5。
  6. 乘回去檢查：8 × 9 × 5 = 72 × 5 = 360。正確。

答案： 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5

常見錯誤

  • 把 1 當作質因數（例如把 6 寫成 1 × 2 × 3）；記住 1 不是質數，所以不要寫進去。
  • 在不是質數的數上停下來，例如寫成 36 = 4 × 9；要繼續拆，直到每條分支的末端都是質數（36 = 2 × 2 × 3 × 3）。
  • 忘記把因數樹上所有圈起來的質數抄進最後答案；可以把質數乘回去，看看是否得到原本的數來檢查。
  • 把次方弄混，例如想寫 2³ 卻寫成 2 × 3；右上角的小數字表示該質數出現了多少次，所以 2³ 代表 2 × 2 × 2。

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以下哪一個是 12 的質因數分解？

家長常見問題

孩子在哪個年級學質因數分解？

在英國，孩子在 5 年級開始認識質數，通常在 6 至 8 年級學習把數寫成質因數的乘積。在澳洲，一般在 7 年級教授，並常配合指數記法。在美國，質因數分解通常在 6 年級出現，用來找出最大公因數和最小公倍數。

在家可以怎樣幫助孩子學習質因數分解？

確保孩子熟悉最初幾個質數（2、3、5、7、11、13）和乘數表。和孩子一起為 24、60 或 100 等數字畫因數樹，每次最後都把質數乘回去檢查。讓孩子留意到：同一個數即使畫出不同的因數樹，最後得到的質數都一樣，這能幫助建立信心。

1 是質數嗎？

不是。質數必須剛好有兩個不同的因數，即 1 和它本身，而 1 只有一個因數。不把 1 算作質數，也能確保每個數的質因數分解都是獨一無二的。

應該寫「factorisation」還是「factorization」？

兩種寫法都正確，意思也一樣。「factorisation」是英國和澳洲常用的拼法，而「factorization」是美式拼法，所以孩子在書本和網上可能會看到其中任何一種。