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最小公倍數（LCM）

一句話概括： 兩個或多個數的最小公倍數（LCM），是同時出現在它們各自乘法表中、大於零的最小的數。

為什麼成立

倍數就是把一個數分別乘以 1、2、3……所得到的數。例如，4 的倍數是 4、8、12、16 等等。公倍數是同時出現在你所看的每一個數的乘法表中的數，而其中最小的那個就是最小公倍數。最小公倍數可以幫助我們做分數的加減法，因為它能給出最小的共同分母（即公分母）。它也能解決生活中的小謎題，例如推算兩班發車間隔不同的巴士下一次會在什麼時候同時出發。

可以這樣理解： 想像兩個朋友在一條從 0 開始的數線上跳躍。一個朋友每次都跳 6 格，另一個每次都跳 8 格。每個朋友都會落在自己的乘法表上：6、12、18、24……以及 8、16、24……兩個朋友第一次落在同一個位置的數是 24。這個相遇點就是最小公倍數。 (這個比喻的局限：跳躍的圖像很適合用在兩個較小的數上，但遇到較大的數，或三個以上的數時就會變慢，因為要列出每個落點需要很長時間。這種情況下，用質因數會更快（把每個數拆成質數的乘積；質數是恰好只有兩個因數——1 和它本身——的數）。)

例題詳解

A 巴士每 6 分鐘從車站開出一班，B 巴士每 8 分鐘開出一班。它們在 9:00 同時出發。下一次同時出發是什麼時候？

  1. 先看出這是一道最小公倍數的題目：我們要找的是同時出現在 6 的乘法表和 8 的乘法表中的最小時間。
  2. 列出較大的數 8 的倍數：8、16、24、32……
  3. 逐一檢查 6 能否整除它們：8 不能，16 不能，24 可以（6 × 4 = 24）。
  4. 所以 6 和 8 的最小公倍數是 24。
  5. 在 9:00 加上 24 分鐘，就得到時間。

答案： 6 和 8 的最小公倍數是 24，所以兩班巴士下一次會在 9:24 同時出發。

常見錯誤

  • 直接把兩個數相乘（6 × 8 = 48）得到的是公倍數，但不一定是最小的，所以一定要先檢查較大那個數更小的倍數。
  • 把最小公倍數和最大公因數（能同時整除兩個數的最大的數）搞混，會得到一個太小的答案。記住：倍數至少和這個數本身一樣大。
  • 停在只出現在其中一個乘法表裡的數是常見的疏忽，所以要檢查每個數都能整除你的答案。
  • 答 0 是錯的，因為我們只算大於零的倍數，所以列倍數時要從這個數本身開始。

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4 和 6 的最小公倍數是多少？

家長常見問題

孩子幾年級學最小公倍數？

在英國和澳洲，孩子通常在 5 年級和 6 年級左右接觸公倍數，到 6 年級至 7 年級時，「最小公倍數」這個名稱會用得更多。在美國，通常在 6 年級教授。它直接建立在熟練掌握乘法表的基礎上。

最小公倍數（LCM）和最大公因數（HCF）有什麼不同？

最小公倍數是所有這些數都能整除的最小的數，所以它通常比這些數大。最大公因數（英文也稱 greatest common factor）是能整除所有這些數的最大的數，所以它通常比較小。以 6 和 8 為例，最小公倍數是 24，最大公因數是 2。

在家怎樣幫助孩子學習最小公倍數？

先練習乘法表，因為倍數能脫口而出時，求最小公倍數就容易多了。然後試試生活中的小謎題，例如「如果一個水龍頭每 3 秒滴一滴，另一個每 5 秒滴一滴，它們什麼時候會同時滴？」鼓勵孩子列出較大那個數的倍數，再逐一檢查。

為什麼孩子做分數時需要用到最小公倍數？

要計算像 1/4 + 1/6 這樣的分數加減法，分母必須相同。4 和 6 的最小公倍數是 12，所以兩個分數都可以化成以 12 為分母的分數（3/12 + 2/12 = 5/12）。使用最小公倍數能讓數字保持盡可能小，最後需要約分的地方也就更少。