最大公因數
一句話概括： 兩個數的最大公因數，是能同時整除這兩個數、沒有餘數的最大整數。
為什麼成立
因數是能整除另一個數的整數。求出最大公因數（GCF）可以讓你一步約簡分數，例如把 24/36 的分子和分母同時除以 12，就得到 2/3。它也能解決生活中的分配問題，例如把物品分成完全相同的幾組，而且沒有剩餘。之後在代數中，同樣的概念也會用來做因式分解。
可以這樣理解： 想像你有 24 個蘋果和 36 個橙，想把它們裝進一模一樣的袋子裡，而且不能有剩餘。每個袋子裡的蘋果數量要相同，橙的數量也要相同。最大公因數告訴你最多可以裝多少袋：12 袋，每袋有 2 個蘋果和 3 個橙。 (這個比喻的局限：「分袋子」的比喻只適用於可以實際數出來的整數，而數字很大時就不太實用。它也無法呈現更快的質因數方法：把數字分解成質數（剛好只有兩個因數，即 1 和它本身的數），再把兩個數共有的質數相乘。)
例題詳解
求 24 和 36 的最大公因數。
- 把 24 的因數成對列出：1 × 24、2 × 12、3 × 8、4 × 6。所以因數是 1、2、3、4、6、8、12、24。
- 把 36 的因數成對列出：1 × 36、2 × 18、3 × 12、4 × 9、6 × 6。所以因數是 1、2、3、4、6、9、12、18、36。
- 圈出兩個列表中都出現的因數：1、2、3、4、6 和 12。
- 選出最大的公因數：12。
- 用質因數檢查：24 = 2 × 2 × 2 × 3，36 = 2 × 2 × 3 × 3。共有的質因數是 2 × 2 × 3 = 12。
答案： 24 和 36 的最大公因數是 12。
常見錯誤
- 把最大公因數和最小公倍數混淆，結果答案比原來的數還大。請記住，最大公因數絕不會大於較小的那個數。
- 找到第一個公因數就停下來（例如 24 和 36 的 6），所以一定要列出所有因數，再選出兩個列表中都有的最大那一個。
- 列因數時有遺漏，所以要從 1 開始成對列出，當兩邊在中間相遇時就停止。
- 把兩個數的所有質因數都相乘，而不是只乘共有的質因數。每個質數只取它在兩個數中都出現的次數。
試試看 · 第 1 題，共 3 題
免費 · 無需註冊12 和 18 的最大公因數是多少？
家長常見問題
孩子通常在幾年級學最大公因數？
在英國和澳洲，孩子通常在 5–6 年級接觸因數和公因數，然後在 6–8 年級更正式地學習求最大公因數。在美國，最大公因數是 6 年級的標準課題。這個課題建立在熟練掌握乘法表的基礎上。
greatest common factor 和 highest common factor 是同一回事嗎？
是的，它們完全是同一個概念，只是名稱不同，中文都叫「最大公因數」。英國和澳洲通常稱為 highest common factor（HCF），美國則通常稱為 greatest common factor（GCF）。你也可能看到它被稱為 greatest common divisor（GCD，最大公約數）。
我可以怎樣在家幫助孩子學習最大公因數？
先練習乘法表，因為找因數要靠乘法表。然後用實物做分配練習，例如把糖果和餅乾分裝成相同的袋子，問孩子最多可以裝多少袋。鼓勵孩子成對列出因數，這樣就不會有遺漏。
最大公因數和最小公倍數有什麼分別？
最大公因數是能同時整除兩個數的最大數，所以它絕不會大於較小的那個數。最小公倍數是能同時被兩個數整除的最小數，所以它絕不會小於較大的那個數。以 4 和 6 為例，最大公因數是 2，最小公倍數是 12。