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平方數

一句話概括： 平方數就是一個整數乘以它自己所得的答案，例如 4 × 4 = 16。

為什麼成立

平方數在數學中隨處可見。計算正方形的面積、處理乘方（重複相乘的簡寫方式），以及日後求平方根和運用畢氏定理時，都會用到它。把頭十二個左右的平方數背熟，心算會更快，也更容易發現規律，並檢查答案是否合理。

可以這樣理解： 想像你有一堆正方形瓷磚，想把它們排成一個完整的正方形，每一行和每一列的瓷磚數目都相同。用 9 塊瓷磚可以排成 3 乘 3 的正方形，所以 9 是平方數。用 10 塊瓷磚，總會多出幾塊或留下空位，所以 10 不是平方數。名稱正是由此而來：平方數數量的瓷磚可以排成一個正方形。我們把 3 × 3 寫成 3²，讀作「3 的平方」。右上角的小 2 表示把這個數乘以它自己，而不是乘以 2。 (這個比喻的局限：瓷磚的比喻只適用於整數。分數、小數和負數也可以求平方（例如 1.5² = 2.25，(−3)² = 9），但你無法把 2.25 塊瓷磚排成整齊的正方形。一般人說「平方數」時，通常是指整數的平方：1、4、9、16、25 等等。)

例題詳解

20 到 70 之間有哪些平方數？

  1. 按順序計算整數的平方：1² = 1，2² = 4，3² = 9，4² = 16。
  2. 4² = 16 仍然小於 20，所以繼續算下去。
  3. 5² = 25、6² = 36、7² = 49 和 8² = 64 都在 20 到 70 之間。
  4. 9² = 81 大於 70，所以可以停下來了。

答案： 20 到 70 之間的平方數是 25、36、49 和 64。

常見錯誤

  • 把 5² 看成 5 × 2 = 10——右上角的小 2 表示 5 乘以它自己，所以 5² = 5 × 5 = 25。
  • 以為平方數一定是雙數——平方數是單、雙、單、雙交替出現的（1、4、9、16、25……），所以要找出一個整數，看它乘以自己能否得出這個數來檢查。
  • 混淆平方和立方——平方是把這個數乘以它自己一次（4² = 4 × 4 = 16），立方則是把它連乘三次（4³ = 4 × 4 × 4 = 64）。
  • 混淆正方形的面積和周長（繞一圈的總長度）——邊長 6 cm 的正方形，面積是 6² = 36 cm²，但周長是 4 × 6 = 24 cm。

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7² 是多少？

家長常見問題

孩子在哪個年級學平方數？

在英國，平方數和 ² 符號在 5 年級引入，並在 6 年級和 7 年級進一步延伸。在澳洲，通常在 5–7 年級左右出現，7 年級學平方根。在美國，孩子大約在 5–6 年級學指數時接觸平方數，並在 8 年級較正式地學習平方根。

在家怎樣幫助孩子學平方數？

用籌碼、硬幣或方格紙排出正方形（2 乘 2、3 乘 3 等等），每次數一數總數。然後練習背誦到 12 × 12 為止的平方數，並找出規律，例如相鄰平方數之間的差是 3、5、7、9。

平方數和平方根有甚麼分別？

平方數是一個數乘以它自己的答案，例如 6 × 6 = 36。平方根則是反過來：問哪個數乘以自己會得出 36，所以 36 的平方根是 6。

0 和 1 是平方數嗎？

是的，1 是平方數，因為 1 × 1 = 1，而且通常是孩子最先學到的平方數。0 也是整數的平方（0 × 0 = 0），所以很多數學家把它算作平方數，不過有些學校的列表是從 1 開始的。